Сферична астрономія

кутовими: кутом між віссю X і лінією ОК – проекцією відстані	R на
координатну площину XOY і кутом між координатною площиною	XOY і
напрямом Oσ. Зв'язок просторових прямокутних і полярних координат
описується формулами:
X R cos cos ,
Y R cos sin ,	(2.2)
Z R sin .

Ці системи можна використовувати в тих випадках, коли лінійні відстані R до небесних світил відомі (наприклад, для Сонця, Місяця, планет, штучних супутників Землі тощо). Однак для небесних світил, які спостерігаються за межами Сонячної системи, ці відстані або надзвичайно великі у порівнянні з розмірами Землі, або взагалі невідомі.

Внаслідок обертання Землі довкола осі, яке називають добовим обертанням, спостерігачу, який знаходиться в довільній точці земної поверхні, здається, що всі небесні світила обертаються довкола нього. Такий рух небесних світил прийнято називати видимим. При вивченні видимих рухів небесних світил необхідно із заданою точністю визначати їх положення на моменти спостережень. При цьому відстані до них можуть бути невідомими, оскільки всі вони представляються такими, що знаходяться на поверхні деякої сфери. Тому видимі положення небесних світил можна визначати тільки напрямками на них, а їх взаємне розташування – кутами між цими напрямками або відповідними дугами великих кіл на сфері, з центру якої виходять усі ці напрямки.

Уявна сфера довільного радіуса з центром у довільній точці простору, на поверхні якої розташовані світила у їх видимому на небосхилі положенні в деякий момент часу із даної точки простору, називається допоміжною небесною сферою. З метою спрощення геометричних співвідношень радіус такої сфери вважають рівним одиниці. Центром цієї уявної сфери є спостерігач, який разом з Землею приймає участь в її добовому і річному рухах. При цьому добове обертання допоміжної небесної сфери повторює обертання небосхилу.

Використання допоміжної небесної сфери передбачає проектування зображення небесних світил (рис. 2.2). При цьому передбачається, що спостерігач знаходиться в центрі цієї сфери, а спостережуване небесне світило σ переноситься на небесну сферу в точку, в якій лінія, що прямує від спостерігача до цього світила, перетинає сферу. Тому під положенням небесних світил в астрономічних сферичних системах координат розуміється не їх істинне розташування в просторі, а видиме, тобто ті місця, які вони займають на допоміжній небесній сфері. Отже, положення будь-якого

21

небесного світила на такій сфері визначається за допомогою двох сферичних координат і (приймається R 1):

X cos cos ,
Y cos sin ,	(2.3)
Z sin .
2
	3
1
R
O

Рис. 2.2. Проектування небесних світил на допоміжну небесну сферу

У залежності від поставленого завдання центр небесної сфери О може бути розміщеним у довільній точці простору. Саме місце розташування центру цієї сфери задає її назву:

●топоцентрична – центр знаходиться на поверхні Землі;

●геоцентрична – центр збігається з центром мас Землі;

●планетоцентрична – центр знаходиться в центрі деякої планети;

●геліоцентрична – центр суміщений з центром мас Сонця;

●барицентрична – центр знаходиться в центрі ваги Сонячної системи.

2.2. Основні кола, точки та лінії небесної сфери

Небесна сфера служить для вивчення видимих положень і рухів небесних тіл. Положення довільної точки на небесній сфері визначається як перетин двох взаємо перпендикулярних великих кіл. Для визначення координат цієї точки на поверхні небесної сфери фіксуються основні лінії і точки, по відношенню до яких проводяться відповідні вимірювання. Встановлення системи небесних координат, основних кіл і точок небесної сфери та основних напрямків пов'язано з наступними явищами: напрямком дії сили тяжіння Землі, явищем добового обертання Землі – видимим добовим обертанням небесної сфери, річним рухом Землі навколо Сонця – річним рухом Сонця по небесній сфері з видимим рухом Сонця щодо зірок.

22

QWQ E

Одним з основних напрямків щодо поверхні Землі є напрямок прямовисної лінії, який збігається з напрямком сили тяжіння в точці спостереження. При проведені прямої, яка проходить через центр небесної сфери і збігається з напрямком прямовисної лінії в точці спостережень, на небесній сфері отримуємо дві діаметрально протилежні точки – Z і Z (рис.

2.3). Точка Z знаходиться над центром і називається зенітом,	Z – під центром
і називається надиром.
Через центр небесної сфери проведемо лінію і площину,
перпендикулярні прямовисній лінії ZZ . Проведена лінія	перетинається	з
небесною сферою в двох точках: N – точка півночі і S –	точка півдня,	а

площина утворює у перетині зі сферою велике коло, що називається небесним (математичним, істинним) або астрономічним горизонтом. Окрім поняття небесний горизонт існує поняття видимого горизонту, який на суші є кривою лінією, окремі точки якої знаходяться вище або нижче небесного горизонту, а на морі є колом, площина якого паралельна площині небесного горизонту.

Площина небесного горизонту є основною площиною топоцентричної системи координат. Пряма NS називається полуденною лінією. Якщо в площині небесного горизонту побудувати лінію, перпендикулярну полуденній лінії і таку, що проходить через центр сфери О, то ця лінія перетне небесну сферу в двох точках: E – точка сходу і W – точка заходу. Точки S, W, N, E називаються головними точками горизонту. Небесний горизонт розділяє небесну сферу на дві півсфери: видиму, в якій розташований зеніт, і не видиму з точкою надира.

Пряма, проведена через центр небесної сфери паралельно осі обертання Землі, називається віссю світу. Ця лінія перетинає небесну сферу в двох точках: PN – північний полюс світу, PS – південний полюс світу. Навколо осі

світу відбувається видимий добовий рух небесної сфери. Проведемо через центр сфери площину, перпендикулярну осі світу PN PS . Велике коло ,

утворене в результаті перетину цією площиною небесної сфери, називається небесним (астрономічним) екватором. Точка Q цього кола називається верхня точка екватора (над горизонтом), Q – нижня точка екватора (під горизонтом). Небесний екватор і небесний горизонт перетинаються в точках E і W . Небесний екватор розділяє небесну сферу на північну півкулю з північним полюсом світу і південну – з південним полюсом світу.

23

Z Z

ZWZ E

		Z	q
	P
n	N		s
			Q
		E
q`
N		O	S
		W
Q`
			PS
		Z`

Рис. 2.3. Основні кола, точки та лінії небесної сфери
Площина, що містить точки P ZQSP Z Q N , прямовисну лінію		ZZ і вісь
N	S

світу PN PS , називається істинним (небесним) або астрономічним меридіаном.

Ця площина перпендикулярна до площини горизонту і екватора. В окремих системах небесних координат її називають початковою координатною площиною. Небесний меридіан розділяє небесну сферу на східну півсферу, в якій небесні світила сходять, і західну – в якій світила заходять.

Прямовисна лінія ZZ ділить небесний меридіан на південну частину ZPS Z , яка вміщує південний полюс світу, та північну частину ZPN Z , яка

вміщує північний полюс світу. Вісь світу PN PS ділить небесний меридіан на верхню частину меридіана PN ZPS , яка вміщує точку зеніту Z, та нижню частину PN Z PS , яка вміщує точку надиру Zʹ. Проведемо через прямовисну лінію ZZ

вертикальну площину, перпендикулярну небесному меридіану. Отримане коло називається першим вертикалом.

Велике коло , утворене в результаті перетину небесної сфери площиною, що проходить через світило та точки Z і Z', називається вертикалом або колом висот світила.

Велике коло PN PS , що проходить через світило перпендикулярно

небесному екватору, називається колом схилення світила.

Мале коло s n , що проходить через світило паралельно небесному горизонту, називається колом рівних висот або альмукантарат.

Мале коло q q , що проходить через світило і є паралельним небесному екватору, називається добовою паралеллю світила. Видимий добовий рух світил відбувається уздовж їх добових паралелей. Точка q добової паралелі називається точкою верхньої кульмінації, точка q' – точкою нижньої кульмінації. У точці верхньої кульмінації світило має максимальне значення висоти над горизонтом, у точці нижньої кульмінації – мінімальне.

24

Упершому наближенні орбіта Землі може бути прийнята за плоску криву

–еліпс, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце. Площина еліпса, прийнятого за орбіту Землі, називається площиною екліптики E E (рис. 2.4).

	P
	N
	RN
			E
Q`	O		Q
E`
	PS		RS

Рис. 2.4. Кола і точки небесної сфери, пов'язані з видимим річним рухом Сонця

У сферичній астрономії прийнято говорити про видимий річний рух Сонця. Велике коло E E , за яким відбувається річний рух Сонця на протязі року, називається екліптикою. Точка Е цього кола називається точкою літнього сонцестояння, Еʹ – точка зимового сонцестояння. Якщо через центр сфери провести лінію, перпендикулярну до площини екліптики, вона перетне небесну сферу в двох точках: RN – північний полюс екліптики і RS – південний полюс

екліптики. Лінію RN RS називають вісь екліптики. Площина екліптики нахилена

до площини небесного екватора на кут ε, наближено рівний 23,5º. Велике коло небесної сфери RN RS , яке проходить через полюси екліптики і через світило σ,

називається колом широти світила.

Зі спостережень зірок у їх видимому добовому русі можна визначати положення небесного екватора. Зі спостережень тих самих зірок і, разом з ними, Сонця у його добовому і річному рухах визначається величина нахилу екліптики до небесного екватора і положення точок перетину екліптики з небесним екватором, які називають точками рівнодення. На рис. 11 ці точки показані як: – точка весняного рівнодення, – точка осіннього рівнодення. В точці весняного рівнодення Сонце знаходиться в момент перетину ним небесного екватора при переході з південної півкулі у північну у видимому річному його русі. У такому положенні Сонце знаходиться 21 березня. 23 вересня Сонце здійснює перехід з північної півкулі у південну – проходить точку осіннього рівнодення. В момент знаходження Сонця в точці Е (22 червня) в північній півкулі Землі день має найбільшу тривалість, а ніч –

25

найменшу. 22 грудня Сонце знаходиться в точці Еʹ, в цей момент в північній півкулі Землі день має найменшу тривалість, а ніч – найбільшу.

2.3. Сферичні системи координат на небесній сфері

Як було зазначено раніше, положення будь-якої точки на небесній сфері одиничного радіуса визначається двома кутовими величинами – центральними кутами або дугами великих кіл, які пов’язані з основними площинами, лініями та точками цієї сфери. Такі величини називаються сферичними координатами.

Для визначення сферичних координат на сфері вибирають два взаємно перпендикулярних великих кола, одне з яких називають основним, а інше – початковим колом системи. Дуги цих кіл будуть представляти собою лінії положень небесного світила на небесній сфері. При цьому, одна з точок перетину цих кіл називається початковою точкою системи. Із сферичної геометрії відомо, що положення великого кола вважається визначеним, якщо відоме положення геометричного полюса цього кола. Геометричним полюсом великого кола є точка сфери, яка знаходиться на кутовій відстані у 90° від всіх точок цього кола. Якщо провести велике коло через геометричні полюси даної системи координат і небесне світило, отримаємо визначальне коло цієї системи.

Перелічені кола і точки покладені в основу опису всіх систем небесних координат. Для графічного представлення кожної із таких систем координат застосовують наступну послідовність дій. На сфері показують положення полюсів, основного кола та початкової точки системи. Через полюси системи і небесне світило проводять визначальне коло. Першою координатою системи вважають дугу проведеного кола від основного кола до небесного світила. Друга координата відраховується від початкової точки по основному колу до точки перетину визначального та основного кіл.

Проведення великих кіл через точку небесної сфери обумовлює застосування різних сферичних систем координат. У астрономії використовуються сферичні системи координат, що різняться між собою вибором основного і початкового кола, початкової точки та напрямку відліку координат. До найбільш застосовуваних відносять наступні сферичні системи координат:

1)горизонтна,

2)перша і друга екваторіальні,

3)екліптична,

4)географічна.

Назва перших трьох систем координат відповідає назві великих кіл, прийнятих за основне. Розглянемо ці системи координат докладніше.

26

2.3.1. Горизонтна система координат

Основні елементи горизонтної системи координат показані на рис. 2.5. Основним колом цієї системи є астрономічний горизонт SWNE. Початкове коло системи – небесний меридіан ZSZ N . Геометричними полюсами є Z (зеніт) і Z (надир). Початкова точка системи – точка півдня S . Визначальне коло системи

– вертикал світила Z Z .

Перша координата горизонтної системи – висота h світила, величина якої дорівнює куту MO між площиною горизонту і напрямком на світило, або дузі вертикала M від горизонту до світила (рис. 2.5). Висота світила відраховується від горизонту і може приймати значення від 0° до +90°, якщо світило знаходиться над горизонтом, або від 0° до -90°, якщо світило знаходиться під горизонтом. Зауважимо, при h = +90° світило знаходиться в

зеніті, при h = -90° – в надирі. У більшості випадків		замість висоти h
використовується зенітна відстань z світила – кут	ZO	між прямовисною
лінією і напрямком на світило або дуга вертикала	Z .	Зенітна відстань є
доповненням висоти h до 90º:
z 90 h .		(2.4)
Зенітна відстань світила відраховується від зеніту і може приймати
значення від 0° до 180°.
Проведемо через небесне світило паралельно небесному горизонту мале
коло s n . Характерною ознакою цього кола є умова h		= const. Це коло
називається колом рівних висот або альмукантарат.

	Z	A
		z
	n			s
	E		h
	z
N	h	A		S
	O
	W		M	A
	Z`

Рис. 2.5. Елементи горизонтної системи координат

Друга координата горизонтної системи – азимут A світила – двогранний кут між південною частиною дуги ZSZ небесного меридіана і площиною

27

PN PS .

вертикала Z Z світила або центральний кут SOM, який дорівнює дузі небесного горизонту SM:

A SOM SM сф.кут SZM .

В астрономії азимути відраховують від точки півдня S за годинниковою стрілкою в межах від 0° до 360°.

Внаслідок добового обертання небесної сфери горизонтні координати світила змінюються протягом доби. Тому при фіксуванні положення небесного світила у цій системі координат потрібно визначати момент часу, до якого відносяться координати h , z і A . Крім того, горизонтні координати змінюються зі зміною місця проведення спостережень світила. Ця особливість горизонтних координат обумовлена тим, що прямовисні лінії в різних точках земної поверхні мають різне спрямування.

Горизонтна система координат застосовується при орієнтуванні геодезичних інструментів та проведені спостережень світил з метою визначення координат пункту і азимутів вибраних напрямів на земній поверхні.

2.3.2. Екваторіальні системи координат

Перша екваторіальна система координат

На рис. 2.6 представлені основні елементи першої екваторіальної системи координат. Основне коло цієї системи координат – небесний екватор QWQ`E. Початкове коло системи – небесний меридіан PN Q PS Q . Геометричні

полюси небесного екватора – північний PN і південний PS полюси світу. Початкова точка системи – верхня точка екватора Q . Визначальне коло системи – коло схилення світила

Першою координатою цієї системи є схилення світила – кут KO між площиною небесного екватора і напрямком на світило або дуга кола схилення K . Схилення відраховується від небесного екватора до північного полюсу від 0° до +90° та від 0° до -90° – до південного полюсу. Іноді використовується величина – полярна відстань (на рис. 2.6 це дуга PNσ), яка обчислюється за

формулою
90 .	(2.5)

Полярна відстань приймає значення від 0° до 180°.

Проведемо через небесне світило паралельно небесному екватору мале коло q q`. Характерною ознакою цього кола є умова: δ = const. Як було зазначено раніше, це коло називається добовою паралеллю світила. Враховуючи характерну ознаку добової паралелі, схилення світила не залежить ні від добового обертання Землі, ні від географічних координат , пункту спостережень.

28

		Z		q
	P	t
	N				Q
					t
		E
N					S
		O		К
q`				W
	Q`
					P
					S
		Z`

Рис. 2.6. Елементи першої екваторіальної системи координат

Другою координатою першої екваторіальної системи є годинний кут t світила – двогранний кут між площинами небесного меридіана і кола схилення світила або центральний кут QOK, який дорівнює дузі небесного екватора QK :

t сф. кут QPN QK QOK .

Годинний кут відраховується від верхньої точки екватора Q від 0° до 360° у напрямку добового обертання небесної сфери. Годинний кут часто виражають у годинній мірі, тоді його величина змінюється від 0h до 24h.

Градусні та годинні величини пов'язані відомими співвідношеннями: 360° =

24h, 15° = 1h, 15ʹ = 1m, 15ʺ = 1s.

Внаслідок видимого добового руху небесної сфери годинні кути світил постійно змінюються. Годинний кут t відраховується від небесного меридіана, положення якого визначається прямовисною лінією ZZ у даному пункті і, отже, залежить від географічних координат пункту спостереження на земній поверхні.

Друга екваторіальна система координат

Основні елементи другої екваторіальної системи координат зображені на рис. 2.7. Основне коло другої екваторіальної системи – небесний екватор Q Q . Початкове коло системи – коло схилень точки весняного рівнодення PN PS , що називається колюром рівнодень. Початкова точка системи – точка

весняного рівнодення . Визначальне коло системи – коло схилень PN PS . Перша координата цієї системи – схилення (описана у першій

екваторіальній системі координат). Друга координата – пряме сходження ,

29

PN

що дорівнює двогранному куту між площинами колюру рівнодень і кола схилення світила або сферичному куту або дузі екватора K :

сфер.кут PN K OK .

Пряме сходження виражається в годинній мірі і відраховується від точки весняного рівнодення проти годинникової стрілки в напрямку, протилежному добовому руху світил, і знаходиться в межах від 0h до 24h.

	PN
Q`	O		Q
	E
			К
E`
	PS

Рис. 2.7. Елементи другої екваторіальної системи координат

У другій екваторіальній системі координати і не залежать від добового руху світил. Оскільки ця система не пов'язана ні з горизонтом, ні з меридіаном, то і не залежать від положення точки спостереження на Землі, тобто від географічних координат і .

При виконанні астрономо-геодезичних робіт координати світил і повинні бути відомі. Вони використовуються при опрацюванні результатів спостережень, а також для обчислення таблиць координат A і z, що називаються ефемеридами, за допомогою яких можна астрономічним теодолітом відшукати світило в заданий момент часу. Екваторіальні координати світил і визначаються зі спеціальних спостережень на астрономічних обсерваторіях і публікуються в зоряних каталогах.

2.3.3. Екліптична система координат

На рис. 2.8 показані основні елементи екліптичної системи координат. В цій системі координат основне коло – екліптика E E . Початкове коло – коло широти точок рівнодень RN RS . Геометричні полюси – північний RN і південний RS полюси екліптики. Початкова точка – точка весняного

30